在归类中梳理提炼

华板玉

[摘 要]解题是巩固和应用所学知识的重要途径，教师要善于将做过的题进行归类，在归类中梳理解题中所用到的知识点，提炼其中蕴含的思想方法，体会“变中不变”的辩证思想，这样才能提升解题质量。在归类中梳理提炼，尤在中考阶段性复习中，效果会更为明显。

[关键词]解题;归类;梳理提炼;面积模型图

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）05-0026-03

数学知识是明确的、可列举的，但对应的题又是大量的，是做不完的，这一点师生都深有感触。有的学生虽然做了很多题目，可是题目稍微一变，就不知从何下手了，时常伴有迷茫、困惑、受挫的情绪，久而久之也就失去了数学学习兴趣。那么如何应对这种现象，处理好量和质的辩证关系呢？笔者结合多年的教学实践，深感解题是巩固和应用所学知识的重要途径，做一定数量的题目是必要的，除此之外，还要做一个解题有心人，善于将做过的题进行归类，在归类中梳理解题中所用到的知识点，提炼其中蕴含的思想方法。在归类中梳理提炼，特别在中考阶段性复习中，效果更为明显。现以人教版教材中的一个面积模型图的应用为例，就如何在归类中梳理知识点、提炼思想方法进行探讨。

一、面积模型图的呈现

如图1，直线[l1]∥[l2]，[△ABC]与[△DBC]的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与[△ABC]面积相等的三角形吗？

分析：此题是在学生学过平行四边形的性质和两条平行线之间的距离定义等知识之后给出的，它是三角形面积性质的延续。如图2，根据“两条平行线之间距离处处相等”的性质，可知[△ABC]的[BC]边上的高[AS]与[△DBC]的[BC]边上的高[DT]相等。根据“同底等高的三角形面积相等的性质，可得[S△ABC]=[S△DBC]。以此类推，可知当点[E]在直线[l1]上时，可得[S△EBC]=[S△DBC]=[S△ABC]。同理，可得[△ADB]与[△ADC]的面积相等（角度的切换）。

推论：如图3，直线[l1∥l2]，点[A]，[D]在直线[l1]上，点[B]，[C]在直线[l2]上，[AC]，[BD]相交于点[O]，则[△ABO]与[△CDO]的面积相等。

证明：∵直线[l1∥l2]，点[A]，[D]在直线[l1]上，点[B]，[C]在直线[l2]上，∴[S△ABC]=[S△DBC]，∴[S△ABC]-[S△BOC]=[S△DBC]-[S△BOC]，∴[S△ABO]=[S△CDO]。

点评：[△ABO]与[△CDO]面积相等，是两条平行线间三角形面积的相等性与等式性质的“合力”。

从题设和证明中，我们可得到这样的一个结论：两条平行线间同底三角形的面积相等。它是两条平行线性质的应用，是同底等高三角形面积相等性质的“衍生”。

二、面积模型图的应用

两条平行线间同底三角形的面积相等的图形，可作为一个面积的模型图，这一模型图是隐藏在图形中的，需要师生观察图形，从中发现这一模型图，它为解决面积问题提供了一个巧妙的思路。在中考面积问题中，涉及这一模型图的题目比较多，现列举几例。

（一）以网格为背景

[例1]如图4所示的网格是正方形网格，[A]，[B]，[C]，[D]是网格线交点，则[△ABC]的面积与△[ABD]的面积的大小关系为：[S△ABC]     [S△ABD]（填“>”“=”或“<”）。

分析：网格边长为1，网格中三角形的边长都是可求的，同时网格线间还有垂直、平行的位置关系，充分利用网格的度量性和位置关系可求两个三角形的面积。

解法1：根据网格边长的度量性、垂直性可求得[S△ABC];[S△ABD]虽不能直接求得，但可用两边分别为2、5的矩形的面积减去3个直角三角形的面积求得。综上，可求得[△ABC]和[△ABD]兩个三角形的面积均为4，故填“=”。

解法2：网格中的网格线不仅平行或垂直，而且所构成的矩形的对角线平行或垂直，所构成的正方形的对角线平行或垂直， 基于此，连接[CD]，会发现[CD]是边长为3的正方形的一条对角线，而[AB]又是边长为2的正方形的一条对角线，于是[AB∥CD]，而[△ABC]与[△ABD]恰是这两条平行线之间底同为[AB]的三角形，所以这两个三角形的面积相等。

点评：此题以网格为载体，比较两个三角形面积的大小。对比两种方法，前一种重计算，而后一种重观察、重发现，省去了计算环节，显然，后者更简捷。而网格中两条平行线之间的等积三角形的获取不是显现的，而是隐藏其间的，要连接[CD]这条辅助线才能显现，这需要学生留心观察、联想思考。细品解法2，从中可梳理出的知识点有：两条平行线间同底三角形面积相等，可提炼的思想方法有转化思想，而实现转化的途径就是留心观察。

类比应用：如图5，在每个小正方形的边长为1的网格中，点[A]，[B]，[C]均在格点上，点[D]为小正方形一边的中点。

（1）[AD]的长等于           ;

（2）请在网格中，用无刻度的直尺画出一个点[P]，使其满足[S△PAD=S四边形ABCD]，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）                。

分析：求[AD]长，需将[AD]“圈”在一个直角三角形中，用勾股定理求解;[AC]是四边形[ABCD]的一条对角线，且这条对角线是直角边都为4的等腰直角三角形的斜边，根据这一条件信息，可考虑作[AC]的平行线，构造平行线间的同底三角形。

解：如图6，连接[AC]。取格点[G]，连接[BG]，交[DC]的延长线于点[P]，则点[P]为所求点。

点评：求四边形的面积，常需借助对角线将四边形的面积转化为三角形的面积之和。观察网格，可知对角线[AC]是直角边都为4的等腰直角三角形的斜边，根据这一特性，过点[B]作[AC]的平行线，将[△ABC]的面积转化为[△PAC]的面积，而这一过程体现了平行线间同底三角形面积相等的性质，其间彰显转化思想的魅力。

例1及“类比应用”的求解，都是依靠观察，并寻找网格中的平行关系，从而提炼出等面积三角形。

（二）以圆为背景

[例2]如图7，点[O]是半圆的圆心，[BE]是半圆的直径，点[A]，[D]在半圆上，且[AD∥BO]，[∠ABO=60°]，[AB=8]，过点[D]作[DC⊥BE]于点[C]，则阴影部分的面积是       。

分析：本题的各部分阴影图形是分散的，如何将所求图形和待求图形的面积有机组合在一起，如何将不规则图形的面积转化为可求的规则图形的面积，是两个思考点。

思考：根据[AD∥BO]这一条件，[△ABD]的面积可用哪一个三角形的面积等量替换呢？它体现了什么思想？

解：如图8，连接[OA ]。[∵∠ ABO=60°]，[OA=OB]，[∴△AOB]是等边三角形，[∴OA=AB=8]，[∠AOB=60°]，[∴∠AOE=120°]。∵[AD∥OB]，∴[∠OAD=∠AOB=60°]。∵[OA=OD]，∴[△AOD]是等边三角形，∴[∠AOD=60°]， [∠COD=60°]。∵[DC⊥BE]，∴[∠OCD=90°]，∴[∠CDO=30°]，∴[OC=12OD=4]，[CD=OD2-OC2=] [82-42=43]。∵[AD∥OB]，∴[S△ABD=S△AOD]，∴[S△ABD+S弓形AD=S△AOD+S弓形AD]，∴[S△ABD+S弓形AD=S扇形AOD]。[∴S阴影=S扇形AOD+S扇形DOE-S△COD=S扇形AOE-S△COD=] [120π×82360-12×4×43=64π3-83]。

点评：此例以圆为背景，以平行为线索，根据“两条平行线间的同底三角形面积相等”的性质，用[△AOD]的面积代替[△ABD]的面积，从而将不规则的[△ABD]与弓形[AD]的组合图形面积转换为可求的扇形[AOD]的面积，再进一步将阴影部分和[△COD]联系在一起，通过面积的和差化得到所求。

回顾解题过程，用[△AOD]的面积替换[△ABD]的面积是开启解题思路的一把钥匙，也是平行线间同底三角形面积性质的灵活应用，体现了将不规则的图形面积化为规则可求的图形的面积的思想。此题涉及的知识点有：平行线间的等积三角形、等边三角形的判定和性质、勾股定理、扇形面积公式，所涉及的思想方法有：等积转换思想、整体思想、和差法等，实现这些思想方法的途径为：观察、联想和整体性思维。

类比应用：如图9，半圆的直径[AB=10]，[P]为[AB]上一点，点[C]，[D]为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于                  &nbsp;     。

解：如图10，连接[C][D]，[OC]，[OD]，

∵点[C]，[D]为半圆的三等分点，∴[∠AOC=∠COD=∠BOD=60°]，∴[△COD]为等边三角形，∴[∠OCD=60°]，∴[∠OCD=∠AOC]，∴[CD∥AB]，∴[S△PCD=S△COD]， ∴[S阴影=S扇形OCD=25π6]。

点评：证[CD∥AB]，进而得到[S△PCD=S△COD]是问题解答的关键所在，这又归结到两平行线之间同底三角形面积相等的性质。

（三）以正方形为背景

[例3]如图11，正方形[ABCD]的边长为2，点[E]在[AB]边上。四边形[EFGB]也为正方形，设[△AFC]的面积为[S]，则[S=]          。

分析：所求三角形的面积只能计算出[AC]长，无法用三角形面积公式直接求得，能否用与其面积相等的三角形来直接替换呢？若不能直接替换，图中的哪条线与[AC]平行呢？

解：如图12，连接[BF]。∵四边形[ABCD]为正方形，∴[∠ACB=45°]。∵四边形[BGFE]为正方形，∴[∠FBG=45°]，∴[∠FBG=∠ACB]，∴[BF∥AC]。根据“两平行线间同底三角形面积相等”的性质，得[S△AFC=S△ABC=2]。

点评：此例以正方形为背景，连接正方形[BGFE]的对角线[BF]，会发现[BF∥AC]，根据“两平行线间同底三角形面积相等”的性质，将[△AFC]的面积用[△ABC]的面积替换，从而将看似不可求的[△AFC]的面积求得。此题中的知识点有：正方形对角线的性质，两平行线间同底三角形面积相等的性质，所蕴含的思想有转化思想。

类比应用：正方形[ABCD]，正方形[BEFG]和正方形[RKPF]的位置如图13所示，点[G]在线段[DK]上，正方形[BEFG]的边长为4，求[△DEK]的面积。

分析：三角形的面积不能直接求得，需要转化。如何转化呢？图13与图11都是“连体”正方形（有公共顶点，有公共边），但图13中多出了一个小正方形。能否类比例3的思路呢？

解：如图14，连接[BD]，[EG]，[FK]，易证[BD∥EG∥] [FK]，

由[BD∥EG]，得[S△DEG=S△BEG]，

由[EG∥FK]，得[S△KEG=S△FEG]，

∴[S△DEG+S△KEG=S△BEG+S△FEG]，即[S△DEK=S正方形BEFG=42=16]。

點评：结果很“惊奇”（所求三角形的面积正好是图13中间正方形的面积），此例的解答类比了例3的解题思路，注重正方形对角线的平行位置关系的提取和应用，以及两条平行线之间同底三角形面积相等的性质的应用。注重与基础题（例3）的类比，有助于开启学生的解题思路。

三道例题及其变式应用题都分别从不同“背景”展示了两条平行线之间同底三角形面积相等的性质，也就是说，抛开背景的因素，可归为一类题。通过对三道题中知识点的梳理，得到了它们中所含有的相同知识点：两条平行线之间同底三角形面积相等。解完题后若草草了事，则这个知识点的价值就得不到充分体现，更谈不上解题中蕴含的思想方法（侧重转化思想）的挖掘，以及思想方法实现的途径（观察与联想）的体验。

题是解不完的，解题之后不仅要梳理出相关知识点，还要去体验题目背后蕴含的思想方法，并进行挖掘、提炼与迁移，这样才能提升解题质量，取得事半功倍的效果。

（责任编辑 黄春香）

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